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La ruptura de una ola contenida en una ecuación


By lorena - Posted on 18 January 2012

Todos alguna vez hemos pasado un rato mirando las olas llegar a la orilla de una playa. Es algo hipnótico: la superficie del agua se ondula regularmente hasta que al llegar a la orilla rompe sobre sí misma. Este fenómeno natural, igual que muchos otros, puede ser descrito de forma bastante precisa mediante una serie de ecuaciones matemáticas.

La cuestión dista mucho de ser sencilla. Predecir el movimiento de fluidos como el aire, el agua o incluso los combustibles ha ocupado a los matemáticos desde el siglo XVII y forma parte de los llamados problemas del milenio, cuya resolución está premiada con un millón de dólares. Ahora, un equipo formado por cuatro matemáticos españoles y un estadounidense –que ganó en 1978 la medalla Fields- ha resuelto una parte del problema: la descripción matemática de cómo se produce la ruptura de una ola.

Diego Córdoba, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT-CSIC) y uno de los autores del trabajo ha puntualizado que el resultado obtenido “no resuelve el Problema del Milenio”, pero que las nuevas ideas desarrolladas “sí abren vías para acercarse a él”. El estudio demuestra que en las ecuaciones que hoy se usan para describir el movimiento de los fluidos –las ecuaciones de Navier-Stokes- pueden formarse singularidades, un concepto matemático que en el mundo físico se traduce en fenómenos como la formación de un tornado, la quiebra de un metal al calentarlo demasiado o la ruptura de una ola.

Fue en 1757 cuando Leonhard Euler formuló por primera vez las ecuaciones que predicen el movimiento de un fluido ideal, es decir, sin fricción en sus moléculas. Más adelante, en 1822 y 1845 los matemáticos Claude-Louis Navier y Gabriel Stokes perfeccionaron la fórmula al tener en cuenta el grado de viscosidad de los fluidos a estudiar.

A pesar de los años transcurridos desde la enunciación de estas ecuaciones, y de su aplicación diaria en cuestiones como la predicción meteorológica (cómo se mueven las corrientes de aire) o la navegación aeronáutica (cómo fluye el aire por encima del ala de un avión), los matemáticos aún no conocen completamente lo que implican las ecuaciones de Navier-Stokes debido a su complejidad.

La pregunta que se plantearon los autores de este trabajo era la siguiente: el movimiento de fluidos en las situaciones reales presenta de forma puntual lo que llamamos singularidades, es decir, puntos en los que una ecuación, que habitualmente tiene un comportamiento regular, presenta un resultado inesperado. Si esto es así, ¿contemplan las ecuaciones de Navier-Stokes este comportamiento?

El equipo, formado por investigadores del Instituto de Ciencias Matemáticas del CSIC en colaboración con el medalla Fields Charles Fefferman (Universidad de Princeton), ha conseguido demostrar que efectivamente, las ecuaciones sí contemplan las singularidades que de hecho se dan en la dinámica de fluidos. La singularidad encontrada ha sido una de tipo “splash”, precisamente la que se produce cuando una ola rompe: la interfase que separa los dos fluidos (aire y agua) de densidades distintas se curva cada vez más hasta tocarse a sí misma.

Esta demostración supone un importante avance en la comprensión de las ecuaciones de Navier-Stokes, aunque aún queda trabajo para los matemáticos en el estudio de este problema. De hecho, estas ecuaciones son uno de los denominados problemas del milenio, siete problemas matemáticos seleccionados en el año 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas por su especial complejidad y cuya solución será premiada con un millón de dólares. Hasta el momento, solo uno de los siete problemas, la Conjetura de Poincaré, ha sido resuelto.

La demostración publicada por este grupo no ha resuelto el problema del milenio referido a las ecuaciones de Navier-Stokes porque ha obviado algunas condiciones que el Instituto Clay impone para el reto, como que el fluido no tenga fronteras o que no esté en contacto con ninguna otra sustancia, algo que nunca ocurre en la práctica, por cierto. Por tanto, el grupo no ha ganado el premio pero ha logrado avanzar en la comprensión de esas ecuaciones, una cuestión en la que la comunidad matemática lleva siglos trabajando y que tiene múltiples aplicaciones en la vida cotidiana.

Autor: Rocío P. Benavente.

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